Используем основное тригонометрическое тождество: cos2x + sin2x = 1, откуда cos2x = 1 — sin2x. Подставляя это в уравнение, получаем:
1 — sin2x — 4sin2x = 0
1 — 5sin2x = 0
5sin2x = 1
sin2x = 1/5
Следовательно, sin x = ±√(1/5) = ±√5 / 5.
Рассмотрим два случая:
sin x = √5 / 5
x1 = arcsin(√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
x2 = π — arcsin(√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
sin x = -√5 / 5
x3 = arcsin(-√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
x4 = π — arcsin(-√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
Можно объединить решения: x = arcsin(±√5 / 5) + 2πk и x = π — arcsin(±√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z.
В зависимости от заданного интервала, необходимо выбрать соответствующие значения k для получения решений на этом интервале. Например, если требуется найти решения на интервале [0; 2π), то нужно подобрать такие значения k, чтобы все найденные x находились в этом интервале.
Рассмотрим уравнение cos2x — 4sin2x = 0.
Используем основное тригонометрическое тождество: cos2x + sin2x = 1, откуда cos2x = 1 — sin2x. Подставляя это в уравнение, получаем:
1 — sin2x — 4sin2x = 0
1 — 5sin2x = 0
5sin2x = 1
sin2x = 1/5
Следовательно, sin x = ±√(1/5) = ±√5 / 5.
Рассмотрим два случая:
x1 = arcsin(√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
x2 = π — arcsin(√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
x3 = arcsin(-√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
x4 = π — arcsin(-√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z
Можно объединить решения: x = arcsin(±√5 / 5) + 2πk и x = π — arcsin(±√5 / 5) + 2πk, где k ∈ Z.
В зависимости от заданного интервала, необходимо выбрать соответствующие значения k для получения решений на этом интервале. Например, если требуется найти решения на интервале [0; 2π), то нужно подобрать такие значения k, чтобы все найденные x находились в этом интервале.