Как выглядит уравнение циклоиды в декартовых координатах?
Ответы
Виталий Абрамов
Уравнение циклоиды в декартовых координатах зависит от того, какую именно циклоиду мы рассматриваем – циклоиду, описываемую точкой на окружности, катящейся без проскальзывания по прямой линии.
В общем случае, если окружность радиуса a катится по прямой с центром в точке (0, 0), и мы рассматриваем циклоиду точки на её окружности, то уравнения параметрически задаются следующим образом:
x = a(θ - sin(θ)) y = a(1 - cos(θ))
Здесь θ – угол поворота окружности в радианах. Изменяя значение θ от 0 до 2π, мы получим полный цикл циклоиды.
Если требуется явное выражение для y через x, то это более сложная задача и требует решения трансцендентного уравнения. В общем случае, такое решение выражается в виде интеграла или не может быть представлено в элементарных функциях.
Важно отметить, что существуют различные типы циклоид (например, инвертированная циклоида), которые имеют другие уравнения. Приведённые выше формулы относятся к наиболее распространенному случаю – циклоиде, описываемой точкой на катящейся окружности.
Уравнение циклоиды в декартовых координатах зависит от того, какую именно циклоиду мы рассматриваем – циклоиду, описываемую точкой на окружности, катящейся без проскальзывания по прямой линии.
В общем случае, если окружность радиуса a катится по прямой с центром в точке (0, 0), и мы рассматриваем циклоиду точки на её окружности, то уравнения параметрически задаются следующим образом:
Здесь θ – угол поворота окружности в радианах. Изменяя значение θ от 0 до 2π, мы получим полный цикл циклоиды.
Если требуется явное выражение для y через x, то это более сложная задача и требует решения трансцендентного уравнения. В общем случае, такое решение выражается в виде интеграла или не может быть представлено в элементарных функциях.
Важно отметить, что существуют различные типы циклоид (например, инвертированная циклоида), которые имеют другие уравнения. Приведённые выше формулы относятся к наиболее распространенному случаю – циклоиде, описываемой точкой на катящейся окружности.