Как сравнить объемы с их возможными значениями: помощь с ЕГЭ по математике

Ответы

1. Агния Туманова 10.03.2025 в 05:07

   Сравнение объемов – важная тема на ЕГЭ по математике, требующая понимания не только формул, но и умения применять их в различных ситуациях. Давайте разберемся с основными моментами.

   Основные понятия:

   • Объем — это числовое значение, характеризующее величину занимаемого трехмерного тела пространства.
   • Единицы измерения объема: кубический метр (м³), кубический сантиметр (см³), литр и т.д. Важно следить за соответствием единиц при сравнении объемов!

   Сравнение объемов различных фигур:

   • Призма и цилиндр: Если основания призмы и цилиндра одинаковы (основание – круг), а высота равна, то объем цилиндра всегда на 20% меньше объема призмы. Это связано с тем, что объем цилиндра равен πr²h, а объем призмы — S_осн*h, где S_осн = πr². π ≈ 3.14, поэтому отношение объемов примерно равно 0.8 (т.е., объем цилиндра составляет 80% от объема призмы).
   • Пирамида и призма: Если пирамида и призма имеют одинаковые основания и высоту, то объем пирамиды равен одной трети объема призмы. Это фундаментальное свойство пирамид.
   • Шар и цилиндр: Если шар вписан в цилиндр (т.е., диаметр шара равен диаметру основания цилиндра и равен высоте цилиндра), то объем шара составляет 2/3 объема цилиндра. Объем шара равен (4/3)πr³, а объем цилиндра равен πr²*2r = 2πr³.
   • Шар и куб: Если шар вписан в куб, то объем шара составляет примерно 55% от объема куба. Объем шара (4/3)πr³, где r — радиус шара, а объем куба равен (2r)³ = 8r³.

   Как решать задачи:

   • Внимательно читайте условие: Определите, какие фигуры сравниваются и какая информация дана.
   • Используйте формулы: Вспомните формулы для вычисления объемов различных фигур (куб, параллелепипед, цилиндр, шар, пирамида, конус).
   • Приведите к единым единицам измерения: Если размеры даны в разных единицах, переведите их к одной.
   • Сделайте схематический рисунок: Это поможет визуализировать задачу и понять взаимосвязи между фигурами.
   • Используйте пропорции и отношения: Часто сравнение объемов сводится к сравнению отношений или пропорций.

   Пример задачи:

   Объем цилиндра равен 12π см³. Найдите объем конуса, основание которого совпадает с основанием цилиндра, а высота равна высоте цилиндра.

   Решение: Объем конуса равен одной трети объема цилиндра, следовательно, объем конуса равен (1/3) * 12π = 4π см³.

   Важные моменты:

   • Не забывайте про единицы измерения.
   • Внимательно читайте условие и выделяйте ключевую информацию.
   • Практикуйтесь в решении различных задач на сравнение объемов, чтобы закрепить знания и развить навыки.

   Ответить