Признаки делимости на 3 и 9 – фундаментальные понятия в теории чисел, которые позволяют быстро определить, делится ли число на эти множители без выполнения деления.
Делимость на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Это утверждение можно доказать следующим образом: любое натуральное число *n* можно представить в виде разложения по степеням 10: *n = ak10k + ak-110k-1 + … + a1101 + a0*, где *ai* – цифры числа, принадлежащие множеству {0, 1, …, 9}. Поскольку 10 при делении на 3 дает остаток 1 (т.е., 10 ≡ 1 (mod 3)), то 10n также даст остаток 1 при делении на 3 для любого *n* ≥ 0. Следовательно, *n ≡ ak + ak-1 + … + a1 + a0 (mod 3)*. Таким образом, если сумма цифр делится на 3, то и само число *n* делится на 3.
Делимость на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Это является прямым следствием признака делимости на 3, поскольку 10 ≡ 1 (mod 9), а значит, 10n также дает остаток 1 при делении на 9. Следовательно: *n ≡ ak + ak-1 + … + a1 + a0 (mod 9)*.
Пример: Рассмотрим число 5346. Сумма его цифр равна 5 + 3 + 4 + 6 = 18. Поскольку 18 делится на 9, то и само число 5346 делится на 9 (5346 / 9 = 594). Также, поскольку 18 делится на 3, то 5346 делится и на 3.
Эти признаки значительно упрощают проверку делимости больших чисел и широко используются в математике и информатике.
Признаки делимости на 3 и 9 – фундаментальные понятия в теории чисел, которые позволяют быстро определить, делится ли число на эти множители без выполнения деления.
Делимость на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Это утверждение можно доказать следующим образом: любое натуральное число *n* можно представить в виде разложения по степеням 10: *n = ak10k + ak-110k-1 + … + a1101 + a0*, где *ai* – цифры числа, принадлежащие множеству {0, 1, …, 9}. Поскольку 10 при делении на 3 дает остаток 1 (т.е., 10 ≡ 1 (mod 3)), то 10n также даст остаток 1 при делении на 3 для любого *n* ≥ 0. Следовательно, *n ≡ ak + ak-1 + … + a1 + a0 (mod 3)*. Таким образом, если сумма цифр делится на 3, то и само число *n* делится на 3.
Делимость на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Это является прямым следствием признака делимости на 3, поскольку 10 ≡ 1 (mod 9), а значит, 10n также дает остаток 1 при делении на 9. Следовательно: *n ≡ ak + ak-1 + … + a1 + a0 (mod 9)*.
Пример: Рассмотрим число 5346. Сумма его цифр равна 5 + 3 + 4 + 6 = 18. Поскольку 18 делится на 9, то и само число 5346 делится на 9 (5346 / 9 = 594). Также, поскольку 18 делится на 3, то 5346 делится и на 3.
Эти признаки значительно упрощают проверку делимости больших чисел и широко используются в математике и информатике.