Главная»Оптимизация»Как найти точку минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 ?
Как найти точку минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 ?
Ответы
Елла Сухарева
Для определения точки минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 необходимо выполнить несколько шагов:
Найти производную функции: Производная от y обозначается как y’. Применяем правила дифференцирования для каждого члена функции:
Производная от 8x² равна 16x.
Производная от -ln(x) равна -1/x.
Производная от константы (48 — 7 = 41) равна 0.
Следовательно, y’ = 16x — 1/x.
Приравнять производную к нулю и решить уравнение: Чтобы найти критические точки (потенциальные минимумы или максимумы), приравниваем y’ к нулю: 16x — 1/x = 0 16x = 1/x 16x² = 1 x² = 1/16 x = ±√(1/16) = ±1/4
Определить, является ли найденная точка минимумом: Для этого можно использовать второй признак (через вторую производную) или анализ знака первой производной.
Анализ знака первой производной: Рассмотрим интервалы, определенные критическими точками. Поскольку ln(x) определен только для x > 0, рассматриваем только положительные значения x.
Для x < 1/4 (например, x = 1/8): y’ = 16(1/8) — 1/(1/8) = 2 — 8 = -6 < 0
Для x > 1/4 (например, x = 1/2): y’ = 16(1/2) — 1/(1/2) = 8 — 2 = 6 > 0
Поскольку вторая производная положительна и первая производная меняет знак с отрицательного на положительный при x = 1/4, это является точкой минимума. Точка x = -1/4 не подходит, так как ln(x) определена только для положительных значений x.
Определить значение функции в точке минимума: Подставляем x = 1/4 в исходную функцию y: y(1/4) = 8(1/4)² — ln(1/4) + 48 — 7 y(1/4) = 8(1/16) — ln(1/4) + 41 y(1/4) = 1/2 — ln(4⁻¹) + 41 y(1/4) = 1/2 + ln(4) + 41 y(1/4) = 41.5 + ln(4) ≈ 41.5 + 1.386 ≈ 42.886
Таким образом, точка минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 находится в точке x = 1/4, и значение функции в этой точке приблизительно равно 42.886.
Для определения точки минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 необходимо выполнить несколько шагов:
Следовательно, y’ = 16x — 1/x.
16x — 1/x = 0
16x = 1/x
16x² = 1
x² = 1/16
x = ±√(1/16) = ±1/4
y» = 16 + 1/x²
Подставляем x = ±1/4:
y»(1/4) = 16 + 1/(1/16) = 16 + 16 = 32 > 0
y»(-1/4) = 16 + 1/(1/16) = 16 + 16 = 32 > 0
Поскольку вторая производная положительна и первая производная меняет знак с отрицательного на положительный при x = 1/4, это является точкой минимума. Точка x = -1/4 не подходит, так как ln(x) определена только для положительных значений x.
y(1/4) = 8(1/4)² — ln(1/4) + 48 — 7
y(1/4) = 8(1/16) — ln(1/4) + 41
y(1/4) = 1/2 — ln(4⁻¹) + 41
y(1/4) = 1/2 + ln(4) + 41
y(1/4) = 41.5 + ln(4) ≈ 41.5 + 1.386 ≈ 42.886
Таким образом, точка минимума функции y = 8x² — ln(x) + 48 — 7 находится в точке x = 1/4, и значение функции в этой точке приблизительно равно 42.886.