Как найти наибольшее значение функции y = log₁₃(3x² — 6x — 12) на отрезке?

Ответы

1. Быков Даниил 02.04.2025 в 03:20

   Для определения наибольшего значения функции y = log₁₃(3x² — 6x — 12) на заданном отрезке, необходимо выполнить несколько шагов:

   1. Определение области определения функции: Сначала убедимся, что аргумент логарифма положителен. То есть, должно выполняться неравенство: 3x² — 6x — 12 > 0. Разделим на 3: x² — 2x — 4 > 0. Найдем корни квадратного уравнения x² — 2x — 4 = 0 с помощью дискриминанта D = b² — 4ac = (-2)² — 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20. Корни: x₁ = (2 — √20)/2 = 1 — √5, x₂ = (2 + √20)/2 = 1 + √5. Таким образом, область определения функции: x < 1 - √5 или x > 1 + √5.
   2. Исследование монотонности: Функция y = log₁₃(3x² — 6x — 12) монотонна на интервалах, где аргумент логарифма монотонно возрастает или убывает. Рассмотрим функцию f(x) = 3x² — 6x — 12. Это квадратичная функция с положительным коэффициентом при x², поэтому она имеет минимум. Минимум достигается в вершине параболы: x₀ = -b / 2a = -(-6) / (2 * 3) = 1. Следовательно, f(x) убывает на интервале (-∞; 1] и возрастает на интервале [1; +∞).
   3. Определение наибольшего значения на отрезке: Пусть задан отрезок [a; b]. Необходимо проверить, попадают ли концы этого отрезка в область определения функции. Если да, то нужно рассмотреть следующие случаи:
      • Если отрезок лежит целиком в интервале x < 1 - √5 или x > 1 + √5, то наибольшее значение будет достигаться либо на одном из концов отрезка, либо при x = 1 (если 1 попадает в отрезок).
      • Если отрезок пересекает одну из границ области определения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и сравнить их.
   4. Вычисление значений: Вычислите значение y = log₁₃(3x² — 6x — 12) для x = a, x = b и, если необходимо, для x = 1. Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на заданном отрезке.

   Важно: Не забудьте учесть область определения функции при выборе отрезка, на котором вы будете искать наибольшее значение.

   Ответить